TIPE 2014 : les effets yarkovsky et YORP

A l’issue des concours 2014, je vous propose ici d’accéder au TIPE que j’ai présenté lors de l’épreuve des ENS. J’ai pensé que le mettre à disposition sur Internet présenterait plusieurs avantages :

  1. Des taupins pourraient ainsi avoir une idée de ce à quoi doit (grossièrement au moins) ressembler le rapport (nous ne sommes en effet pas forcément préparés à sa rédaction  c’était le cas dans ma petite prépa en tout cas)
  2. Des personnes curieuses d’en savoir plus sur mon sujet – les effets yarkovsky et YORP – pourront éventuellement trouver des compléments d’informations intéressants.
  3. Je pourrais peut être avoir des retours/suggestions sur mon travail.

Vous trouverez toutes les infos à partir du lien suivant :

http://blog.sciencestechniques.fr/index.php/projets/etude-des-effets-yarkovsky-et-yorp/

Merci de ne pas copier.

Détection et prévision d’une situation d’éclipse

Dans le cadre de mon projet de logiciel de simulation de mouvements planétaires, j’ai du trouver un moyen de prévoir à quelle date certains astres se trouveraient en situation de syzygie (éclipse, transit).

On considère trois sphères (nos trois astres), S1, S2, S3, de rayons respectifs R1, R2, R3. On connait les vecteurs position des centres \vec{p}_1, \vec{p}_2, \vec{p}_3 de chacune des sphères. On note S1 et S2 les astres depuis lesquels le phénomène d’éclipse peut être observé, en appelant S1 l’astre de plus petit rayon parmi S1 et S2 (R_1 \leq R_2). On appelle S3 l’astre dont on cherche à savoir s’il se trouve « entre » S1 et S2.

 Première méthode : solution « approchée » géométrique

La première méthode de résolution proposée ici donne une bonne approximation du résultat exact, dans les conditions étudiées.
La condition d’occultation est l’intersection entre le volume de la sphère 3 et le volume du cône tangent aux sphères 1 et 2.

On se place dans le plan (S1, S2, S3). Le problème consiste désormais à montrer que le cercle se situe en partie entre les deux tangentes communes aux deux sphères.
On construis la droite (O1, O2), puis les points T1 et T2, tels que (T_1O_1) \perp (O_1O_2), T_1 \in S_1 et (T_2O_2) \perp (O_1O_2), T_2 \in S_2.
Ainsi, la droite (T1, T2) est une bonne approximation d’une tangente commune aux deux droites. Cela est vrai tant que la différence des rayons des astres 1 et 2 est petite devant la distance qui la sépare.

Schéma sphères 1

On notera d = [O_1,O_2] = ||\vec{p}_2-\vec{p}_1|| et \varepsilon = \frac{R_2-R_1}{d} (d’après notre choix de notation, \varepsilon > 0. La condition se réécrit, mathématiquement : |\varepsilon| \ll 1. En pratique, dans notre cas, elle est vérifiée : les distances qui séparent deux astres sont d’un ordre de grandeur bien plus élevé que celui de leur taille.

Dès lors, la condition d’occultation devient alors (approximativement) : O_3B \leq HB+R_3
Le calcul de O_3B est simple. C’est la distance de O_3 à la droite (O1, O2). D’où :

O_3B = \dfrac{||(\vec{p}_3-\vec{p}_1) \wedge (\vec{p}_2-\vec{p}_1)||}{d}

Le calcul de HB se décompose en HA+AB. AB n’est que le rayon de la sphère 1 (car c’est la plus petite, d’après notre choix de notation), donc AB = R_1.

D’autre part, le théorème de Thalès donne : HA = (R_2-R_1)\dfrac{O_1B}{d} = \varepsilon.O_1B

Par projection scalaire : O_1B = |\dfrac{(\vec{p}_3-\vec{p}_1).(\vec{p}_2-\vec{p}_1)}{d}|

La condition devient donc, si \varepsilon \ll 1 :

\dfrac{||(\vec{p}_3-\vec{p}_1) \wedge (\vec{p}_2-\vec{p}_1)||}{d} \leq R_1+R_3+\varepsilon. |\dfrac{(\vec{p}_3-\vec{p}_1).(\vec{p}_2-\vec{p}_1)}{d}|, soit :

||(\vec{p}_3-\vec{p}_1) \wedge (\vec{p}_2-\vec{p}_1)|| \leq d(R_1+R_3)+\varepsilon. |(\vec{p}_3-\vec{p}_1).(\vec{p}_2-\vec{p}_1)|

Cette condition est celle que j’utilise actuellement dans mon programme

Deuxième méthode : solution « exacte » (analytique)

Bien que la première solution donne des résultats satisfaisants et permette de prévoir des éclipses et transits à quelques mois/ans avec une précision de 2-3 heures, il est intéressant d’étudier le cas général. J’ai pour cela demandé de l’aide à mon prof de maths qui m’a proposé d’utiliser les équations des tangentes dans un système de coordonnés simplifié. Cette démonstration s’inspire de sa méthode mais s’applique à n’importe quel système de coordonnées.

On se place toujours dans le même plan que précédemment. Mais cette fois, on le muni d’un repère (O_1, \vec{i}, \vec{j}) orthonormé et direct. Volontairement, on se place dans une situation ou la condition de validité de l’approximation précédente n’est plus respectée.

Schéma sphères

On appelle A=(x_A, 0) l’intersection des tangentes avec l’axe des abscisses. Puisque (O_1T_1)\parallel(O_2T_2) alors d’après le théorème de Thalès :

\dfrac{x_A}{x_A+d} = \dfrac{R_1}{R_2} d’où x_A = -\dfrac{R_1}{\varepsilon}. Lorsque \varepsilon \to 0, A est logiquement rejeté à l’infini.

On souhaite déterminer l’équation des tangentes communes aux deux cercles, de la forme xx_0 \pm yy_0 = R_1^2, sachant que T_1 = (x_0,y_0) \in S_1. Puisque A appartient à ces tangentes on peut écrire : -x_0 . \dfrac{R_1}{\varepsilon} = R_1^2 d’où x_0 = -R_1.\varepsilon.

Mais T_1 \in S_1 \Rightarrow R_1^2\varepsilon^2 + y_0^2 = R_1^2 d’où y_0 = \pm R_1 \sqrt{1-\varepsilon^2}. Ainsi les équations des deux tangentes commune sont :

\varepsilon.x \pm \sqrt{1-\varepsilon^2}.y = R_1

On rappelle la condition d’occultation : O_3B \leq HB+R_3

Soit \mathcal{D} la perpendiculaire à une de ces tangentes (prenons par exemple celle de pente positive) passant par O_3 = (x_3,y_3). Elle coupe la tangente en H et l’axe des abscisses en B = (x_B, 0).

Cette droite a donc pour équation : \sqrt{1-\varepsilon^2}x-\varepsilon.y = \sqrt{1-\varepsilon^2}x_3-\varepsilon. y_3.

On en déduit les coordonnées de B\in\mathcal{D} \mbox{ : } B = (x_3-\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}y_3,0). On en déduit :

O_3B = \sqrt{y_3^2 + y_3^2.\dfrac{\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}} = \dfrac{y_3}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}

Reste à calculer HB. Cela se fait par application du théorème de Thalès :

\dfrac{HB}{R_2} = \dfrac{x_B+AO_1}{d+AO_1} soit

HB = R_2.\dfrac{x_3-\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}y_3+R_1/|\varepsilon|}{d+R_1/\varepsilon} = R_1 + |\varepsilon| ( x_3-\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}y_3 )

Nous devons calculer x_3 et y_3, les coordonnées de O_3 dans le repère (O_1, \vec{i}, \vec{j}), sachant ses coordonnées dans une base (O, \vec{u}, \vec{v}, \vec{\omega}) quelconque.
L’abscisse x_3 est en fait la projection de \vec{p}_3-\vec{p}_1 sur la droite (O_1O_2). On  a alors :

x_3 = \dfrac{(\vec{p}_3-\vec{p}_1).(\vec{p}_2-\vec{p}_1)}{d}

Quant à y_3, son signe n’a pas d’importance (par symétrie par rapport à Ox), aussi on peut le calculer comme étant la distance de O_3 à (O_1O_2) :

y_3 = \dfrac{||(\vec{p}_3-\vec{p}_1) \wedge (\vec{p}_2-\vec{p}_1)||}{d}

La condition d’occultation s’écrit alors \dfrac{y_3}{\sqrt{1-\varepsilon^2}} \leq R_1 + R_3 + |\varepsilon| ( x_3-\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}y_3 ) soit :

\dfrac{||(\vec{p}_3-\vec{p}_1) \wedge (\vec{p}_2-\vec{p}_1)||}{\sqrt{1-\varepsilon^2}} \leq d(R_1 + R_3) + \varepsilon \left( (\vec{p}_3-\vec{p}_1).(\vec{p}_2-\vec{p}_1)-\dfrac{||\varepsilon(\vec{p}_3-\vec{p}_1) \wedge (\vec{p}_2-\vec{p}_1)||}{\sqrt{1-\varepsilon^2}} \right)

Voilà le résultat sans approximation que nous recherchions. Si nous négligeons les termes en epsilon d’ordre 2 (\varepsilon^2) nous retrouvons notre première approximation. L’erreur est alors faible et le calcul plus rapide (moins de racine(s) carrée(s) à calculer). Dans le cas d’une planète passant entre la Terre et le Soleil, \varepsilon \approx 0,0046.

Application

Je me suis servi de la formule approchée dans mon programme, ce qui a permis de prévoir la date du transit de vénus de juin 2012 à partir de la disposition du système solaire en mars de la même année. Le programme utilise des données issues de kernels SPICE. L’état initial du système solaire a été pris le 2012 MAR 1 12:00 puis l’évolution en a été déduite par résolution du problème à N corps (méthode d’Euler, pas de 1 seconde). J’ai de plus tenu compte des effets dus au temps de propagation de la lumière. (Pour cela, il suffit d’effectuer les calculs à partir de \vec{p}_2 = \vec{p}_2(t - ||\vec{p}_2 - \vec{p}_1||/c) et idem pour \vec{p}_3).

Valeur calculée Observé
Début transit (UTC) 05/06/2012 22:04 05/06/2012 22:09
Fin transit (UTC) 06/06/2012 04:57 06/06/2012 04:49
Diamètre apparent Vénus 58″ 58″

Les résultats sont donc satisfaisants. L’heure de décalage s’explique par l’erreur accumulée sur les positions des planètes.

J’ai aussi effectué un test pour le transit de mercure de 2016 à l’aide de l’état initial du système solaire au premier mai de cette année. Ce transit devant avoir lieu le 9 mai, l’interpolation par calcul des effets gravitationnels ne se fait que sur 9 jours, ce qui permet de réduire les erreurs dues à celle-ci.

Valeur calculée
vitesse lumière infinie
Valeur calculée Prédiction NASA
Début transit (UTC) 09/05/2016 11:03 09/05/2016 11:10 09/05/2016 11:12
Fin transit (UTC) 09/05/2016 18:37 09/05/2012 18:43 06/06/2012 18:42

Les résultats très bons (2 minutes de décalage seulement). Cet exemple montre bien que pour une telle précision il est nécessaire de tenir compte du temps de propagation de la lumière.

Rendement lumineux d’une ampoule à incandescence

L’ordre de grandeur du rendement d’une ampoule à incandescence qu’on retrouve en général dans la presse est 5 %; en réalité c’est encore moins ! Dans cet article, je vous propose une estimation de ce rendement.

Approche qualitative

Le principe des lampes à incandescence est de porter un filament (tungstène) à très haute température (~3000 K) pour qu’il émette de la lumière par rayonnement thermique. En effet, le filament se comporte de façon similaire à un corps noir lorsqu’il est chauffé.

Le spectre d’émission d’un corps noir ne dépend que de sa température, et seule une fraction de l’énergie dissipée par rayonnement thermique est émise dans le visible. Ainsi nous comprenons déjà pourquoi toute l’énergie n’éclaire pas, puisque le filament émet également dans les IR et UV.

D’autres phénomènes contribuent à diminuer le rendement de telles lampes, notamment de conduction thermique ou d’absorption par l’ampoule. Cependant nous négligerons ces effets et nous nous concentrerons sur le spectre de rayonnement.

Approche quantitative

Premièrement, nous devons définir ce que nous appelons rendement. C’est :

\eta = \dfrac{\mbox{puissance emise dans le visible}}{\mbox{puissance emise totale}} = \dfrac{P_V}{P}

Nous pouvons calculer la puissance totale émise par rayonnement thermique P très facilement, car elle nous est donnée par la loi de Stefan-Boltzmann par :

P = \sigma T^4

(Note : cette loi donne la puissance surfacique émise, mais le rapport des puissances surfaciques est égal au rapport des puissances réellement émises, aussi nous ne travailleront qu’avec des puissances surfaciques pour éviter des complications inutiles.)

Mais comment déterminer la puissance émise dans le visible ? Pour cela nous devons considérer la densité spectrale d’un corps noire telle qu’elle est donnée par la loi de Planck. Nous étudierons cette loi en terme de pulsation et non sous forme de longueur d’onde pour la simplicité du calcul numérique et parce que la pulsation est plus fondamentale mais les deux méthodes sont équivalentes. Cette loi nous donne donc la puissance élémentaire d\Phi(\omega) émise entre les pulsations \omega et \omega+d\omega selon :

d\Phi(\omega) = \dfrac{\hbar \omega^3 \ d\omega}{\pi^2 c^2\left(e^{\hbar\omega/kT}-1\right)}

Si nous intégrons cette expression de 0 à + l’infini, nous retrouverons la puissance émise totale, c’est-à-dire :

P = \displaystyle{\int_0^{+\infty}} d\Phi(\omega) = \displaystyle{\int_0^{+\infty}}\dfrac{\hbar \omega^3 \ d\omega}{\pi^2 c^2\left(e^{\hbar\omega/kT}-1\right)} = \sigma T^4

Hors, nous cherchons non pas la puissance totale mais la puissance « efficace », donc émise dans le visible. La première idée que nous avons est d’intégrer cette expression dans le visible uniquement, càd en bornant l’intégrale par les limites du visible (environ 400 nm et 800 nm en longueur d’onde). Cependant, les limites du visible ne sont pas clairement définies, et il existe des longueurs d’onde visibles auxquelles l’œil humain est plus sensible qu’à d’autres. Ainsi, il nous faut une certaine fonction sans dimension V(\omega) traduisant « l’efficacité lumineuse » d’une OEM de pulsation donnée, telle que la puissance efficace soit :

P_V = \displaystyle{\int_0^{+\infty}} V(\omega) d\Phi(\omega) = \displaystyle{\int_0^{+\infty}} V(\omega) \dfrac{\hbar \omega^3 \ d\omega}{\pi^2 c^2\left(e^{\hbar\omega/kT}-1\right)}

Note : Si nous définissons cette fonction comme la fonction indicatrice de l’intervalle de longueur d’onde 400nm-800nm, alors nous retrouvons l’intégrale bornée que nous avons proposé.

Au lieu de cela, nous considérerons une fonction normalisée appelée « Efficacité lumineuse spectrale » traduisant la sensibilité de l’œil à une longueur d’onde donnée. L’efficacité lumineuse spectrale relative admet un extremum de 1 pour une longueur d’onde d’environ 560 nm. Cette fonction peut être construite de la façon suivante : on choisit une certaine longueur d’onde \lambda_0 si possible dans le visible. Pour tout autre longueur d’onde \lambda, on peut comparer la luminosité apparente (pour l’oeil humain) d’un signal monochromatique à la longueur d’onde de référence \lambda_0 à un signal de même puissance et de longueur d’onde \lambda. Si ce deuxième signal parait \alpha fois plus lumineux, alors : V(\lambda) = \alpha V(\lambda_0). Ceci définit V a un facteur près : il reste a choisir la valeur de V(\lambda_0). Le facteur est choisit tel que le maximum de V soit 1 : cela assure que le rendement lumineux soit inférieur à 1 et égal à 1 dans le cas ou le signal est monochromatique à la longueur d’onde maximale de sensibilité de l’oeil.

La figure ci-dessous donne l’allure de cette fonction :

Efficacité lumineuse spectrale normalisée

Efficacité lumineuse spectrale relative normalisée. Seules des valeurs discrètes sont définies, dont la courbe présente ici est une interpolation gaussienne.

Note : en réalité, il existe deux fonctions de ce type (« photopique », de jour et « scotopique », de nuit, assurée par les seuls bâtonnets). Nous considérons ici la version photopique, lorsque cônes et bâtonnets participent à la vision. Il faut donc, pour qu’elle soit exploitable dans notre calcul d’intégrale pondérée, modéliser la courbe interpolant ces points. J’ai opté pour une fonction gaussienne, qui semble bien convenir (Régressi affiche un écart relatif de 5.3 %). La modélisation donne :

V(\lambda) = e^{-\left(\dfrac{\lambda-\lambda_0}{\sigma_\lambda \sqrt{2}}\right)^2}, avec \lambda_0 \approx 559,0 \pm 0,9 \mbox{nm} et \sigma_\lambda \approx 42.4 \pm 0,8 \mbox{nm}

Nous pouvons injecter cette expression dans notre intégrale, sachant que \lambda = 2\pi \dfrac{c}{\omega}.

Nous obtenons alors :
\eta = \dfrac{\hbar}{\pi^2 c^2 \sigma T^4}\ \displaystyle{\int_0^{+\infty}} V(\omega) \dfrac{ \omega^3 \ d\omega}{e^{\hbar\omega/kT}-1} avec V(\omega) = e^{-\left(\dfrac{2\pi c/\omega-\lambda_0}{\sigma_\lambda \sqrt{2}}\right)^2}

Ce rendement sans dimension est appelé « rendement lumineux ».
On parle parfois également de flux lumineux \Phi = V_{Max}.P_V, le flux de lumière en lumen, avec V_{Max} = 683 \ \mbox{lm/W} par définition du lumen, traduisant le potentiel réel d’éclairage d’une lampe.
De même le rendement lumineux est parfois défini comme \eta_L = V_{Max}.\eta et s’exprime alors en lumens par Watts.

Application numérique

Pour effectuer le calcul, j’ai procédé par intégration numérique, en codant un petit programme en C++.

L’application numérique donne, pour T = 2700 K, un rendement lumineux d’environ 1,8 % et 12 lm/W. On remarque que le rendement max est atteint pour des valeurs de T proches de 6600 K (inatteignables dans le cas d’une lampe à incandescence), où il atteint 14 % environ.
En réalité, le rendement est encore inférieur. Il faudrait également tenir compte des valeur d’émissivité du filament de tungstène. La correction s’écrit :

P_V = \displaystyle{\int_0^{+\infty}} \varepsilon(\omega) V(\omega) \dfrac{\hbar \omega^3 \ d\omega}{\pi^2 c^2\left(e^{\hbar\omega/kT}-1\right)}

Aux températures usuelles, \varepsilon(\omega) \approx 0,4. Il suffit alors de multiplier d’autant le rendement, et on trouve 0,7 %.
Le rendement est bien plus mauvais qu’on le dit en général !

Nous pouvons remarquer d’autres choses intéressantes. Jusqu’à la « température idéale », le rendement augmente. Il est donc intéressant d’avoir une température aussi élevée que possible. Cela explique le choix du tungstène, dont la température de fusion est suffisamment haute pour atteindre des rendements corrects.

D’autre part, la température du rayonnement solaire est d’environ 6000 K, ce qui est assez voisin de la température idéale, et cela est rassurant. Pourquoi ? Parce que nous pouvons penser que la vie s’est adaptée sur Terre de façon à tirer partie au mieux du rayonnement émis. Donc, nos yeux devraient être naturellement conçus pour exploiter au mieux la lumière solaire.
Certains pourront répondre que l’écart entre la température idéale et la température du rayonnement solaire est tout de même d’environ 10 %. C’est vrai. Cependant, l’écart relatif de rendement est faible (l’erreur est alors seulement de 2 %). Nous pouvons alors proposer une explication pour ces 2 %. Le spectre du rayonnement solaire perçu à la surface terrestre n’est pas exactement celui d’un corps noir, à cause des effets d’absorption dus à l’atmosphère, comme on peut le voir sur la figure suivante :

Spectre de la lumière solaire au dessus et en dessous de l’atmosphère. Au-delà de l’atmosphère, le spectre ressemble à celui d’un corps noir. Sur Terre, en revanche, l’absorption de certaines longueurs d’onde donne une distribution bien différente.

Pour être plus précis, il faudrait effectuer les calculs avec cette distribution. Peut-être aussi le processus d’évolution a privilégié certaines longueurs d’onde pour d’autres raisons, par exemple afin de mieux repérer certaines couleurs associées à des dangers – c’est une supposition. Mieux vaut laisser les biologistes s’exprimer sur la question.

Méthode d’intégration employée

Pour ceux qui sont intéressés, la méthode de calcul employée est très simple (il s’agit de la méthode des rectangles). Puisque cette méthode ne permet pas de calculer une intégrale sur un intervalle infini (toutes les pulsations), je me suis restreint à un intervalle un peu large englobant le visible (entre 200 et 900 nm). En effet, en dehors de cet intervalle, V(\lambda) \approx 0. L’interface entre le programme et le serveur web est réalisé par PHP. Les calculs ne sont pas réalisés par PHP directement pour des raisons de précision et de performance.

 

Chaines de désintégration radioactive et équation de Bateman

Je me suis penché sur les chaines de désintégration radioactives (ou filiations radioactives) et la loi qui régit leur évolution (appelée équation de Bateman). Je vous en propose ici une démonstration.

Présentation

Pour une filiation radioactive de la forme :

X_0 \overset{\lambda_0}\rightarrow X_1 \overset{\lambda_1}\rightarrow . . . \overset{\lambda_{n-1}}\rightarrow X_n \overset{\lambda_{n}}\rightarrow X_{n+1} \overset{\lambda_{n+1}}\rightarrow . . . et où X_0 est présent en quantité N_0 à l’instant zéro, les autres éléments étant initialement absents.
L’équation de Bateman donne alors :

N_n(t) = N_0 \displaystyle{\sum_{i=0}^n} \left(\dfrac{e^{-\lambda_i.t}}{\displaystyle{\prod_{\substack{j=0 \\ j\neq i}}^{n}} (\lambda_j - \lambda_i)}\right) . \displaystyle{\prod_{i=0}^{n-1}} \lambda_i

Démonstration

filiation radioactive, démonstration complète (PDF)

Application

Et en voici une application que j’ai codée en PHP, calculant l’évolution du nombre de noyaux de chaque espèce pour la chaîne de désintégration « 4n + 3″ du plutonium 239 » et réalisant un export CSV des données.