Chaines de désintégration radioactive et équation de Bateman

Je me suis penché sur les chaines de désintégration radioactives (ou filiations radioactives) et la loi qui régit leur évolution (appelée équation de Bateman). Je vous en propose ici une démonstration.

Présentation

Pour une filiation radioactive de la forme :

X_0 \overset{\lambda_0}\rightarrow X_1 \overset{\lambda_1}\rightarrow . . . \overset{\lambda_{n-1}}\rightarrow X_n \overset{\lambda_{n}}\rightarrow X_{n+1} \overset{\lambda_{n+1}}\rightarrow . . . et où X_0 est présent en quantité N_0 à l’instant zéro, les autres éléments étant initialement absents.
L’équation de Bateman donne alors :

N_n(t) = N_0 \displaystyle{\sum_{i=0}^n} \left(\dfrac{e^{-\lambda_i.t}}{\displaystyle{\prod_{\substack{j=0 \\ j\neq i}}^{n}} (\lambda_j - \lambda_i)}\right) . \displaystyle{\prod_{i=0}^{n-1}} \lambda_i

Démonstration

filiation radioactive, démonstration complète (PDF)

Application

Et en voici une application que j’ai codée en PHP, calculant l’évolution du nombre de noyaux de chaque espèce pour la chaîne de désintégration « 4n + 3″ du plutonium 239 » et réalisant un export CSV des données.

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