Rendement lumineux d’une ampoule à incandescence

L’ordre de grandeur du rendement d’une ampoule à incandescence qu’on retrouve en général dans la presse est 5 %; en réalité c’est encore moins ! Dans cet article, je vous propose une estimation de ce rendement.

Approche qualitative

Le principe des lampes à incandescence est de porter un filament (tungstène) à très haute température (~3000 K) pour qu’il émette de la lumière par rayonnement thermique. En effet, le filament se comporte de façon similaire à un corps noir lorsqu’il est chauffé.

Le spectre d’émission d’un corps noir ne dépend que de sa température, et seule une fraction de l’énergie dissipée par rayonnement thermique est émise dans le visible. Ainsi nous comprenons déjà pourquoi toute l’énergie n’éclaire pas, puisque le filament émet également dans les IR et UV.

D’autres phénomènes contribuent à diminuer le rendement de telles lampes, notamment de conduction thermique ou d’absorption par l’ampoule. Cependant nous négligerons ces effets et nous nous concentrerons sur le spectre de rayonnement.

Approche quantitative

Premièrement, nous devons définir ce que nous appelons rendement. C’est :

\eta = \dfrac{\mbox{puissance emise dans le visible}}{\mbox{puissance emise totale}} = \dfrac{P_V}{P}

Nous pouvons calculer la puissance totale émise par rayonnement thermique P très facilement, car elle nous est donnée par la loi de Stefan-Boltzmann par :

P = \sigma T^4

(Note : cette loi donne la puissance surfacique émise, mais le rapport des puissances surfaciques est égal au rapport des puissances réellement émises, aussi nous ne travailleront qu’avec des puissances surfaciques pour éviter des complications inutiles.)

Mais comment déterminer la puissance émise dans le visible ? Pour cela nous devons considérer la densité spectrale d’un corps noire telle qu’elle est donnée par la loi de Planck. Nous étudierons cette loi en terme de pulsation et non sous forme de longueur d’onde pour la simplicité du calcul numérique et parce que la pulsation est plus fondamentale mais les deux méthodes sont équivalentes. Cette loi nous donne donc la puissance élémentaire d\Phi(\omega) émise entre les pulsations \omega et \omega+d\omega selon :

d\Phi(\omega) = \dfrac{\hbar \omega^3 \ d\omega}{\pi^2 c^2\left(e^{\hbar\omega/kT}-1\right)}

Si nous intégrons cette expression de 0 à + l’infini, nous retrouverons la puissance émise totale, c’est-à-dire :

P = \displaystyle{\int_0^{+\infty}} d\Phi(\omega) = \displaystyle{\int_0^{+\infty}}\dfrac{\hbar \omega^3 \ d\omega}{\pi^2 c^2\left(e^{\hbar\omega/kT}-1\right)} = \sigma T^4

Hors, nous cherchons non pas la puissance totale mais la puissance « efficace », donc émise dans le visible. La première idée que nous avons est d’intégrer cette expression dans le visible uniquement, càd en bornant l’intégrale par les limites du visible (environ 400 nm et 800 nm en longueur d’onde). Cependant, les limites du visible ne sont pas clairement définies, et il existe des longueurs d’onde visibles auxquelles l’œil humain est plus sensible qu’à d’autres. Ainsi, il nous faut une certaine fonction sans dimension V(\omega) traduisant « l’efficacité lumineuse » d’une OEM de pulsation donnée, telle que la puissance efficace soit :

P_V = \displaystyle{\int_0^{+\infty}} V(\omega) d\Phi(\omega) = \displaystyle{\int_0^{+\infty}} V(\omega) \dfrac{\hbar \omega^3 \ d\omega}{\pi^2 c^2\left(e^{\hbar\omega/kT}-1\right)}

Note : Si nous définissons cette fonction comme la fonction indicatrice de l’intervalle de longueur d’onde 400nm-800nm, alors nous retrouvons l’intégrale bornée que nous avons proposé.

Au lieu de cela, nous considérerons une fonction normalisée appelée « Efficacité lumineuse spectrale » traduisant la sensibilité de l’œil à une longueur d’onde donnée. L’efficacité lumineuse spectrale relative admet un extremum de 1 pour une longueur d’onde d’environ 560 nm. Cette fonction peut être construite de la façon suivante : on choisit une certaine longueur d’onde \lambda_0 si possible dans le visible. Pour tout autre longueur d’onde \lambda, on peut comparer la luminosité apparente (pour l’oeil humain) d’un signal monochromatique à la longueur d’onde de référence \lambda_0 à un signal de même puissance et de longueur d’onde \lambda. Si ce deuxième signal parait \alpha fois plus lumineux, alors : V(\lambda) = \alpha V(\lambda_0). Ceci définit V a un facteur près : il reste a choisir la valeur de V(\lambda_0). Le facteur est choisit tel que le maximum de V soit 1 : cela assure que le rendement lumineux soit inférieur à 1 et égal à 1 dans le cas ou le signal est monochromatique à la longueur d’onde maximale de sensibilité de l’oeil.

La figure ci-dessous donne l’allure de cette fonction :

Efficacité lumineuse spectrale normalisée

Efficacité lumineuse spectrale relative normalisée. Seules des valeurs discrètes sont définies, dont la courbe présente ici est une interpolation gaussienne.

Note : en réalité, il existe deux fonctions de ce type (« photopique », de jour et « scotopique », de nuit, assurée par les seuls bâtonnets). Nous considérons ici la version photopique, lorsque cônes et bâtonnets participent à la vision. Il faut donc, pour qu’elle soit exploitable dans notre calcul d’intégrale pondérée, modéliser la courbe interpolant ces points. J’ai opté pour une fonction gaussienne, qui semble bien convenir (Régressi affiche un écart relatif de 5.3 %). La modélisation donne :

V(\lambda) = e^{-\left(\dfrac{\lambda-\lambda_0}{\sigma_\lambda \sqrt{2}}\right)^2}, avec \lambda_0 \approx 559,0 \pm 0,9 \mbox{nm} et \sigma_\lambda \approx 42.4 \pm 0,8 \mbox{nm}

Nous pouvons injecter cette expression dans notre intégrale, sachant que \lambda = 2\pi \dfrac{c}{\omega}.

Nous obtenons alors :
\eta = \dfrac{\hbar}{\pi^2 c^2 \sigma T^4}\ \displaystyle{\int_0^{+\infty}} V(\omega) \dfrac{ \omega^3 \ d\omega}{e^{\hbar\omega/kT}-1} avec V(\omega) = e^{-\left(\dfrac{2\pi c/\omega-\lambda_0}{\sigma_\lambda \sqrt{2}}\right)^2}

Ce rendement sans dimension est appelé « rendement lumineux ».
On parle parfois également de flux lumineux \Phi = V_{Max}.P_V, le flux de lumière en lumen, avec V_{Max} = 683 \ \mbox{lm/W} par définition du lumen, traduisant le potentiel réel d’éclairage d’une lampe.
De même le rendement lumineux est parfois défini comme \eta_L = V_{Max}.\eta et s’exprime alors en lumens par Watts.

Application numérique

Pour effectuer le calcul, j’ai procédé par intégration numérique, en codant un petit programme en C++.

L’application numérique donne, pour T = 2700 K, un rendement lumineux d’environ 1,8 % et 12 lm/W. On remarque que le rendement max est atteint pour des valeurs de T proches de 6600 K (inatteignables dans le cas d’une lampe à incandescence), où il atteint 14 % environ.
En réalité, le rendement est encore inférieur. Il faudrait également tenir compte des valeur d’émissivité du filament de tungstène. La correction s’écrit :

P_V = \displaystyle{\int_0^{+\infty}} \varepsilon(\omega) V(\omega) \dfrac{\hbar \omega^3 \ d\omega}{\pi^2 c^2\left(e^{\hbar\omega/kT}-1\right)}

Aux températures usuelles, \varepsilon(\omega) \approx 0,4. Il suffit alors de multiplier d’autant le rendement, et on trouve 0,7 %.
Le rendement est bien plus mauvais qu’on le dit en général !

Nous pouvons remarquer d’autres choses intéressantes. Jusqu’à la « température idéale », le rendement augmente. Il est donc intéressant d’avoir une température aussi élevée que possible. Cela explique le choix du tungstène, dont la température de fusion est suffisamment haute pour atteindre des rendements corrects.

D’autre part, la température du rayonnement solaire est d’environ 6000 K, ce qui est assez voisin de la température idéale, et cela est rassurant. Pourquoi ? Parce que nous pouvons penser que la vie s’est adaptée sur Terre de façon à tirer partie au mieux du rayonnement émis. Donc, nos yeux devraient être naturellement conçus pour exploiter au mieux la lumière solaire.
Certains pourront répondre que l’écart entre la température idéale et la température du rayonnement solaire est tout de même d’environ 10 %. C’est vrai. Cependant, l’écart relatif de rendement est faible (l’erreur est alors seulement de 2 %). Nous pouvons alors proposer une explication pour ces 2 %. Le spectre du rayonnement solaire perçu à la surface terrestre n’est pas exactement celui d’un corps noir, à cause des effets d’absorption dus à l’atmosphère, comme on peut le voir sur la figure suivante :

Spectre de la lumière solaire au dessus et en dessous de l’atmosphère. Au-delà de l’atmosphère, le spectre ressemble à celui d’un corps noir. Sur Terre, en revanche, l’absorption de certaines longueurs d’onde donne une distribution bien différente.

Pour être plus précis, il faudrait effectuer les calculs avec cette distribution. Peut-être aussi le processus d’évolution a privilégié certaines longueurs d’onde pour d’autres raisons, par exemple afin de mieux repérer certaines couleurs associées à des dangers – c’est une supposition. Mieux vaut laisser les biologistes s’exprimer sur la question.

Méthode d’intégration employée

Pour ceux qui sont intéressés, la méthode de calcul employée est très simple (il s’agit de la méthode des rectangles). Puisque cette méthode ne permet pas de calculer une intégrale sur un intervalle infini (toutes les pulsations), je me suis restreint à un intervalle un peu large englobant le visible (entre 200 et 900 nm). En effet, en dehors de cet intervalle, V(\lambda) \approx 0. L’interface entre le programme et le serveur web est réalisé par PHP. Les calculs ne sont pas réalisés par PHP directement pour des raisons de précision et de performance.

 

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